中级微观经济学期中摘要

第1讲#

三种常见的效用函数:(效用相同->无差异曲线)

CD函数(Cobb-Douglas preferences) $u\left(x_1, x_2\right)=x_1^c x_2^d$

完全替代品(Perfect substitutes) $u\left(x_1, x_2\right)=a x_1+b x_2$

完全互补品(Perfect complements) $u\left(x_1, x_2\right)=\min\left\{a x_1, b x_2\right\}$

边际效用:效用函数对对应变量求偏导(效用随该变量增加的增加量) $M U_1\left(x_1, x_2\right)\equiv\frac{\partial u\left(x_1, x_2\right)}{\partial x_1}\quad M U_2\left(x_1, x_2\right)\equiv\frac{\partial u\left(x_1, x_2\right)}{\partial x_2}$

边际替代率:边际效用之比,为了多购买1单位1商品愿意舍弃的2商品的数量。 $M R S_{12}\left(x_1, x_2\right)\equiv\frac{M U_1}{M U_2}$

注意 MU1在分子!(即想多购买的在上面,想舍弃的在下面)

第2讲#

预算约束线(预算约束,即money,跟效用没关系 $p_1 x_1+p_2 x_2\leq m$

在约束线 active的情况下,可用拉格朗日函数求解最优解 (在本课程情境下,认为最优解一定在预算约束线上。做题时先画图判断最优解情况 $\begin{gathered}\mathcal{L}=u\left(x_1, x_2\right)+\lambda\left(m-p_1 x_1-p_2 x_2\right)\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}=\frac{\partial u\left(x_1^{*}, x_2^{*}\right)}{\partial x_1}-\lambda p_1=0\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=\frac{\partial u\left(x_1^{*}, x_2^{*}\right)}{\partial x_2}-\lambda p_2=0\end{gathered}$

不 active时,上述最优解不满足 $x>0$ 且 $y>0$ ,则最优解在 x轴或 y轴上。

消费者均衡的另一种求解方法: $M R S=p_1/ p_2$

三种常见效用函数的预算约束最优解

CD函数(Cobb-Douglas preferences) $x_1^*=\frac{c m}{(c+d) p_1}, x_2^*=\frac{d m}{(c+d) p_2}$

完全替代品(Perfect substitutes) 需要分情况讨论,一般最优点均在边界

完全互补品(Perfect complements) $x_1^*=\frac{b m}{b p_1+a p_2}, x_2^*=\frac{a m}{b p_1+a p_2}$

第3\4讲#

最优消费量函数: $x_1\left(p_1, p_2, m\right)$ and $x_2\left(p_1, p_2, m\right)$

收入效应

正常品:收入水平上升，消费量增加 $\frac{\partial x_{1}}{\partial m}>0$

低档品:收入水平上升,消费量下降 $\frac{\partial x_1}{\partial m}<0$ $\frac{\partial x_1}{\partial m}<0$

消费品不可能全是低档品!

收入提供线:在不同收入水平下最优消费篮子的连线

恩格尔曲线:单纯某一种商品消费随收入变化的曲线(收入在纵轴,销量在横轴)

需求的收入弹性: $e_l=\frac{d x/ x}{d m/ m}=\frac{m~d x}{x~d m}$ 注意上面的弹性求解公式中,为因变量(需求)对自变量(收入)求导!

正常品又可细分为奢侈品和必需品

奢侈品:随收入增加增长幅度变大 $e_i>1$

必需品:随收入增加增长幅度变小 $0<e_l<1$

同位偏好/相似偏好(homothetic):要求恩格尔曲线为正比例函数。要求效用函数满足: $f\left(t x_1, t x_2\right)=t^k f\left(x_1, x_2\right)$

价格效应

两种类型:自身价格变化的价格效应和其他商品价格变化的价格效应 $\frac{\partial x_l}{\partial p_l}\text{ and}\frac{\partial x_l}{\partial p_k}(k\neq l)$

普通商品:自身价格提高,消费量下降 $\frac{\partial x_l}{\partial p_l}<0$

吉芬商品:自身价格提高,消费量增加 $\frac{\partial x_l}{\partial p_l}>0$

价格提供线:在不同价格水平下最优消费篮子的连线

需求曲线:消费量随自身商品价格变化的曲线(价格在纵轴,销量在横轴)

价格效应可以拆分为替代效应和收入效应

体现价格相对变化 补偿需求:假想在价格变动下消费者购买力水平不变 $\left(m^{\prime}\right.$ 即为旧消费篮子在新价格下的价值 $)$ $m^{\prime}=p_1^{\prime} x_1(p, m)+p_2 x_2(p, m)$

替代效应:在补偿需求(即购买力水平不变的情况下)消费的变化 $\text{ from}\left(x_1(p, m), x_2(p, m)\right)\text{ to}\left(x_1\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right), x_2\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right)\right)$ $\Delta x_1^s=x_1\left(p_1{}^{\prime}, m^{\prime}\right)-x_1\left(p_1, m\right)$

收入效应:从补偿需求到真实情况的消费的变化 from $\left(x_1\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right), x_2\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right)\right)$ to $\left(x_1\left(p^{\prime}, m\right), x_2\left(p^{\prime}, m\right)\right)$ $\Delta x_1^n= x_1\left(p_1{}^{\prime}, m\right)-x_1\left(p_1{}^{\prime}, m^{\prime}\right)$

\begin{align*}\Delta x_1&=x_1\left(p^{\prime}, m\right)-x_1(p, m)\\ &=\left[x_1\left(p^{\prime}, m\right)-x_1\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right)\right]+\left[x_1\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right)-x(p, m)\right]\\ &=\Delta x_1^\eta+\Delta x_1^s\end{align*}

替代效应中的补偿需求法则 $\left(p_1^{\prime}-p_1\right)\left[x_1\left(p^{\prime}, m^{\prime}\right)-x_1(p, m)\right]\leq 0$ 即 $\left(p_1^{\prime}-p_1\right)\left(x_1^{\prime}-x_1\right)<0$ 即在替代效应中,价格 p与销量 x的变化总是相反的(需求曲线向下倾斜)

显示偏好: A、 B两种消费篮子都买得起,但消费者买了 A,则 A显示偏好于 B 消费者的显示偏好不同则可以推出消费者的行为不具有一致性。

替代效应总是负的→收入效应决定商品是正常品还是吉芬品 只有当收入效应与替代效应反向，且收入效应占据主导地位时，才是吉芬商品 吉芬商品一定是低档品(p升购买力下降),正常品一定是普通品。反过来均不成立 (正常 normal对低档 inferior，普通 ordinary对吉芬)

Hicks替代效应 将 Slutsky替代效应中“购买力不变”变为“效用不变” (从仍然过原来的消费篮子改为仍与原来的无差异曲线相切)

第5讲#

MWTP:消费者为了多购买一单位商品而愿意支付的价格 MWTP即为由各点MRS绘制出的曲线。

消费者剩余:消费者愿意支付的价格-消费者实际支付的价格

希克斯补偿需求曲线就是MWTP曲线 拟线性情况下，收入效应为0，需求曲线(商品销量随自身价格变化)就是MWTP曲线。 $u(x_{1},x_{2})=v(x_{1})+x_{2}$ $\text{ MRS}=v^{\prime}(x_{1})/ 1=p_{1}/ 1\quad v^{\prime}(x_{1})=p_{1}$ 上面这个式子是在最优消费点的情况下。 MRS= $p_{1}/ p_{2}$

无谓损失:来自替代效应(没有替代效应，就没有无谓损失) 无谓损失=消费者愿意为能获得购买机会而支付的价格-税收

CV(Compensating variation)与EV(Equivalent variation)将政策金钱化

$\begin{gathered} E(p, U)=\min\{p\cdot x: u(x)\geq U\}\\ CV=E\left(p^{\prime}, U_0\right)-m, EV=m-E\left(p, U_1\right).\end{gathered}$

市场需求(非重点) 市场需求为单个消费者需求横向水平加总。代表性消费者需要满足严格条件(同位偏好等)。

弹性 $x=f(p)$ 的弹性为:(没有单位) $\varepsilon_{x, p}=\frac{\Delta x/ x}{\Delta p/ p}$

实际操作过程中使用的公式:( p为自变量,自变量在后,因变量在前) $\varepsilon_{q, p}=\lim_{\Delta p\rightarrow 0}\frac{p D(p+\Delta p)-D(p)}{\Delta p}=\frac{p}{D(p)} D^{\prime}(p)$

$\left|\varepsilon_{q, p}\right|>1$ 富有弹性 $\left|\varepsilon_{q, p}\right|<1$ 缺乏弹性 $\left|\varepsilon_{q, p}\right|=1$ 单位弹性

线性需求弹性: $\varepsilon_{q, p}=\frac{-b p}{a-b p}$

微观经济学中很多图把自变量画在纵轴 常数弹性需求:需求曲线 $D(p)=A p^{\varepsilon}$ $\varepsilon_{q, p}=\frac{p}{A p^{\varepsilon}}\left(\varepsilon A p^{\varepsilon-1}\right)=\varepsilon\frac{p* A p^{\varepsilon-1}}{A p^{\varepsilon}}=\varepsilon$

第6讲#

“彩票”(Lottery),用以描述经济学中的不确定性 用下式来表示经济学中 lottery $p_1\circ c_1+p_2\circ c_2+\ldots+p_n\circ c_n$ 的期望效用 $U\left(p_1\circ c_1+p_2\circ c_2+\ldots+p_n\circ c_n\right)=p_1 v\left(c_1\right)+\ldots+p_n v\left(c_n\right)$

混合策略效用满足完备性、传递性、单调性、连续性、独立性(各事件效用互不影响) 独立性: $U\left(\alpha L_1+(1-\alpha) L_3\right)=\alpha U\left(L_1\right)+(1-\alpha) U\left(L_3\right)$

在期望财富相同的情况下,可以根据一个人对 lottery的选择判断其为下面的哪种类型风险规避、风险偏好、风险中性 期望财富相同 $c=0.5\left(c+c^{\prime}\right)+0.5\left(c-c^{\prime}\right)$ 但效用可能不同 $0.5 v\left(c+c^{\prime}\right)+0.5 v\left(c-c^{\prime}\right)$ (如获得 c’钱和失去 c’钱带给消费者的心情不同等)

确定性等值(C E):在确定的情况(单一策略)下获得与混合策略同等效用所需要的金钱 $v(C E)=p_1 v\left(c_1\right)+\left(1-p_1\right) v\left(c_2\right)$

风险升水(R P):为了获得确定性而需要额外付出的代价(混合策略的期望金钱-CE) $R P=\left[p_1 c_1+\left(1-p_1\right) c_2\right]-C E$

完全保险:(即假设保险公司不赚钱，收入=支出) 风险偏好型一般不会购买保险。下面考虑风险规避型消费者。 初始财富为 w,有风险损失D,发生风险的概率为 $\pi\in(0,1)$ ,一单位保险花 p钱,赔付 1钱 消费者希望 $\max_{a>0}(1-\pi) v(w-a\pi)+\pi v(w-a\pi-D+a)$ 可以解出当购买 $\alpha=D$ 单位保险时最优,此时期望效用为 $v(w-\pi D)$ 。即消除了任何风险。

Allais悖论:现实中大量消费者行为并非按期望效用行动进行行动!

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